3次方程式x^3-3x-1　の解は３つとも実数根であり、

一つの根をaと置くと、ほかの根は a^2-a-2 、-a^2+2と書けるらしい
(そういう関係が根にある）

んでもって、こやつを根の有理式Ⅴで表したい。

まず、一つの根をaと置くと、ほかの根は a^2-a-2 、-a^2+2と書けるから

Ⅴ＝a₊2b₊3c　　bに a^2-a-2  ｃに-a^2+2と置くと

Ⅴ＝a₊２(a^2-a-）₊３(-a^2₊2）

計算してⅤ＝-a^2-a₊２

次に

根がⅤの有理式で表せるならば　ｆⅤ^2₊gⅤ₊ｈ　と仮定してよい　ｆｇｈは有理数

なぜならばガロア分解式　Ⅴ^3-9Ⅴ-９が成り立っており、（井汲ブログ参照）

Ⅴ^3＝9Ⅴ₊９に変換できるので、Ⅴ^3以上の項は常に低い次数に置き換えられるから

さっそく

a=ｆⅤ^2₊ｇⅤ₊ｈを計算すると

Ⅴ^2＝3a₊6になっており、いきなりきれいな形で出てきたので

ｆに1/3を代入して　ｆⅤ^2＝a₊2　よって　

aが1/3Ⅴ^2ー２　であることがわかる　Ⅴの有理式で表現できる

ここからaが求まったので、a^2-a-2 と-a^2₊2のⅤの式が求まる

-a^2₊2＝1/3Ⅴ^2-Ⅴ-２　　さらにa^2-a-2=-1/3Ⅴ^2₊Ⅴ₊４

ちなみに　

Ｖの根を置き換えて

Ⅴ＝b₊2a₊3c　と置くと

Ⅴ＝-2a^2₊a₊４　よって

またⅤ＝ｆⅤ^２₊ｇⅤ₊h　ｆｇｈ　は有理数のどれか

Ⅴ^２＝-３a^２₊１２　　なのでとりあえず⁻1/3＝ｆに代入して

-３a^2をa^2にする

－1/3×Ⅴ^２＝　a^2-４となる

Ⅴの式にあるー２a＾２と打ち消したいので

－２/3Ⅴ^２＝２a^2-８    これを　Ⅴと合わせて

－２/3Ⅴ^２₊Ⅴ＝a-４   よって　移項すると　⁻２/3Ⅴ^2₊Ⅴ₊４＝a

ここではⅤのうちどれを指定しているのか決めていないので、コロコロ値が変わっているはず。　とりあえず計算のアプローチだけ

5次方程式の場合も簡単に求まる方法があればいいのだが、
一応　ここのサイトを見ると、解をⅤの多項式で表す方法のまとめがある。

下のブログの方は出版とかなさらないのですか　井汲氏もそうですが…