ガウスの基本定理から、方程式の解は複素数と実数で表現できる。

例えば常に方程式は（ｘー実数）（ｘ－複素数）（ｘー実数）・・・のように分解できる。

複素数は実数＋実数×ｉの形で表されるので、実数の部分だけ考えると、

例えば√２は実数の１．４１４２…に対応している代数といえる。

nが自然数の時、ｎ乗根と有理数を組み合わせた数が一つの実数と対応しているのである。

つまり有限回の有理数の四則演算と冪根操作だけですべての実数が表現できれば実数を代数で表現できるので、解の公式ははある（方程式の解になる実数が代数的に表現できる）　
しかしながら、実数の無限集合と有限回の有理数の四則演算と冪根操作で表現できる数の無限集合を比べると明らかに実数の無限集合のほうが濃度が濃いのである。

わかりやすく例える

自然数ｎと√ｎ（nは自然数）　を比べてみると　実数のｘ軸上の＋２から＋４の間に自然数は２と３と４だけ存在するのに対して√ｎは４　５　６　７　８　９・・・√１６まで13個存在する。つまり濃度が√ｎのほうが濃いのである。

√ｎの中には√４や√１６のように自然数２と４が代数になることができる。
しかしながらほとんどの√ｎは自然数で表現することはできない。

方程式が高次数になるにつれ、解になる実数が増えると、いよいよｎ乗根と有理数を組み合わせた数で実数を表現できなくなる。

√３を整数だけで表現できなくなるのと同じである。