まず、ガロアの考えで、

位数120のガロア群、位数60のガロア群、位数20のガロア群に対応する既約五次方程式が存在していると仮定しよう

ガロアの言う可解である条件　

★その１　その方程式に対応するガロア群が素数個ずつ部分群に分裂していくのを繰りかえして、最終的に恒等置換になること

★その２　分裂していく部分群が正規部分群であること

まず位数120のガロア群に対応する既約五次方程式を考えると、

位数120のガロア群は5次の対称群であって、これを分裂して小さくしていく場合、
120＝２×２×２×3×５　なので　２　と　３　と　５　で割れることができる

120を２で割ると位数６０の交代群になるが、交代群は単純群なので部分群をもたないため分裂ができない

次に３で割ることを考えると、位数４０の部分群が存在しないので分裂できない

次に５で割ると位数２４の部分群に分裂できる
ここで★条件１をみたしているが、位数２４の部分群は正規部分群ではないので★条件２を満たしていないのでダメ

ゆえに位数１２０のガロア群と対応する五次方程式は可解ではない

位数６０のガロア群に対応する既約五次方程式を考えると、
位数６０のガロア群は交代群なので部分群に分裂できない　分裂できるとしたら恒等置換になるだけ（６０で割れるが素数ではない）
ので★条件１を満たしておらず可解ではない

位数２０のガロア群に対応する既約五次方程式を考える
位数２０のガロア群はフロベニウス群である。

位数２０から位数１０の部分群に分裂できる、さらに位数１０の部分群から位数５の部分群に分裂できて、最終的に５で割って恒等置換（単位群）になる
２０を2で割って、１０を2で割って、５を5で割ると１（恒等置換）になる　

２、２，５の素数個ずつに分裂している

なので★条件１を満たす

位数１０の群　位数５の群　恒等置換（単位群）はすべて正規部分群であるので★条件２を満たす

よって★条件１と★条件２の両方を満たす位数２０のガロア群に対応する既約五次方程式は可解である