図A

フロベニウス群は位数２０なのに、なんで８０次拡大が出てくるのか？

ガロア群でパターン分けする際は、１のn乗根が有理数体に入っている状態で分けられる。

なので

ガロア群の拡大次数と　普通に体を拡大するときの次数は異なっていて

上記の図Aの様に

普通に体を拡大することを考える場合　

有理数体ｋ→１の５乗根の４次拡大→そのあとフロベニウス群の拡大　２０次拡大

になっており　よって４×２０＝８０　　　８０次数拡大になっている

ここで位数８０のⅭ₄×Ⅽ₄×Ⅽ₅＝体Ｋ　からスタートすると、中間体Ｋ（√５△）＝位数４０の部分群が成り立っている。

ガロア群を考える場合は１の５乗根が含まれる有理数体から拡大が始まるので

　有理数体（１の5乗根を含む）→２０次数拡大（フロベニウス群の拡大）になる

図B

一方で上記の図Bは

１の５乗根の拡大を後からつけている　F20×〈ω〉

〈ω〉
は　x⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１＝０のガロア群　（１３２４）であり

上記の式を因数分解すると４次式（ｘ－ς）（ｘ－ς⁴）（ｘ－ς³）（ｘーς²）

1→３→２→４　は　ς→ς^3→ς^4→ς^2    こんな感じだろうか

この（ς→ς^3→ς^4→ς^2）の置き換えはｒ₁に作用するので　

ｒ₁→ｒ₃→ｒ₄→ｒ₂が成り立っている

1の5乗根による写像は

ここのサイトを見ると写像　ς→ς³　を選ぶの意味がわかる

上図Bは１の５乗根の拡大を後からつけている　F20×〈ω〉

拡大をより細かく考えると２０次拡大だけじゃなくて、どこかで１の5乗根の拡大（4次拡大）も考えましょうねってはなし

F20（Ⅽ₅×Ⅽ₄）と

〈ω〉は別世界の巡回群であり

〈ω〉＝（１３２４）　であるが、

ここで（１３２４）　は１の５乗根ςの置き換えを意味しており（ς→ς³→ς⁴→ς²）である

ｘの置き換えを意味しているわけではない。ゆえにｘ₁～ｘ₅を置き換えたりはしない。

図を見るとE＝K（X₁～Ⅹ₅)の体を基礎体として〈ω〉の拡大が行われているので

〈ω〉からｘ₁～ｘ₅は有理数と同じように見えており、〈ω〉の作用で不変

逆にＦ20から有理数体に１の5乗根を添加した体Ｋ（ς）のςは有理数と同じように見えており
　ςはF20の作用で不変

xの置き換えをしない別世界の〈ω〉との合成体

（つまりは、合成体の元であるｒ₁からｒ₄）を柔軟に考えると後述の通りうまくいく。

最初の図Aに戻って、１の5乗根を先に添加する合成体の拡大の図を見ると

位数８０の群の中間体Ｋ（√５△）は、ｒ₁ｒ₄を不変にするので

その事実からｒ₁を決定することができる。ｒ₁が決まればｒ₁～ｒ₄は導出できる

よって、ｘを求めることができる。

〈ω〉＝（１３２４）　の巡回群が　Ⅽ₄×Ⅽ₄×Ⅽ₅　のうちのⅭ₄のひとつで

２次拡大K（√５△）は〈σ、τ²、τω⁻¹〉の群に対応しており

例えばｒ₁は　ω⁻¹（ς³→ς→ς²→ς⁴）の置き換えでｒ₂に変わり、τ（２３５４）の置き換えでｒ₁に戻る

さらにその４次拡大K（△、ς）は〈σ、τ²〉　に対応するので、その過程で

〈ω〉＝（１３２４）が消えて、〈ω〉はςの写像を変えることを気にせず拡大を考えることができる