結局のところ、英語のガロア群計算サイトを使って調べたところ

http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

このサイトにこのコマンド

> P< x >:=PolynomialAlgebra(Rationals());

> f:=x^5+5*x-12;

> G:=GaloisGroup(f);

> print G;

で,既約方程式のガロア群を計算することができる。

例えば　x^5₊3ｘ^3₊１　を計算したいなら　３x^3 のところは３*x^3にする。でないと計算できない。
詳細は英語でgalois　group  calculator で検索

元吉先生のhttps://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
可解な五次方程式の計算
に基づいて計算してみたところ

x⁵-11x³-11x²+11x+11　は　位数5の巡回置換（１３５２４）に対応していて

x⁵-10x³+5x²+10x+1　　は位数5の巡回置換（１２５３４）に対応している。

つまり可解だったら位数20か位数10か位数５のガロア群にその既約５次方程式は対応してる
けど
同じ位数５だったとしても中身の元が恒等置換e以外は違う可能性があるから気を付けてね

ってことを可解な可移部分群が共役でぇとかほざいてるみたいですね

わかりづら... 　フロベニウス群の表記がコロコロ変わるのやめてくれ…