ラグランジュの考察にて、4次方程式を解くためには、４つの変数をつかった有理式で、置き換えにて３つの値に変化するものを見つける事だとわかった。

その方程式の次数よりも一つ低い個数に置き換えで変化する根の有理式を見つければ、その方程式は解ける。そう確信したラグランジュは

5次方程式を解くためには５つの変数をつかった有理式で、置き換えにて４つの値に変化するものを見つけることに着手した。

ところが5つの変数の有理式を作っても、置き換えで６つの値をとる有理式しかみつからなかった。
ラグランジュの後、アバティが５つの変数の有理式では４つの異なる値をとる置き換えができないことを証明したので、ラグランジュの方法では五次方程式が解けないということになった。
ラグランジュのやり方で五次方程式が解けないとしても、他のやり方なら解けるんではないかという流れになったが、ラグランジュの方法で五次方程式が解けないということは五次方程式が解けないことを強く暗示している。