結局のところ、英語のガロア群計算サイトを使って調べたところ

http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

このサイトにこのコマンド

> P< x >:=PolynomialAlgebra(Rationals());

> f:=x^5+5*x-12;

> G:=GaloisGroup(f);

> print G;

で,既約方程式のガロア群を計算することができる。

例えば　x^5₊3ｘ^3₊１　を計算したいなら　３x^3 のところは３*x^3にする。でないと計算できない。
詳細は英語でgalois　group  calculator で検索

元吉先生のhttps://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
可解な五次方程式の計算
に基づいて計算してみたところ

x⁵-11x³-11x²+11x+11　は　位数5の巡回置換（１３５２４）に対応していて

x⁵-10x³+5x²+10x+1　　は位数5の巡回置換（１２５３４）に対応している。

つまり可解だったら位数20か位数10か位数５のガロア群にその既約５次方程式は対応してる
けど
同じ位数５だったとしても中身の元が恒等置換e以外は違う可能性があるから気を付けてね

ってことを可解な可移部分群が共役でぇとかほざいてるみたいですね

わかりづら... 　フロベニウス群の表記がコロコロ変わるのやめてくれ…

Kronecker's Polynomial Theorem
An algebraically soluble equation of odd prime degree which is irreducible in the natural field possesses either

1. Only a single real root, or

2. All real roots.

Mathworldと言うサイトに載ってます

奇素数次の既約方程式が
代数的に解けるならば
実数解がひとつかすべて実数解である

志賀浩二先生の本　方程式が育っていく　の中にある証明

よく見ると奇素数の次数方程式がなんちゃらと書いてあってからの五次方程式に適用されている流れになってますね

還元不能な三次方程式は、必ず複素数を経由

しなければならない証明はガロア理論を理解すれば分かるなどと書いてあるのをネットで見ていて、間違ってはいないと思いました。

何故ならワンツェルの証明(還元不能になる)も体論をかじらないと分からないものであるからです。

但し、ガロア理論は代数的に表示出来るかどうかを問う理論に対して、

ワンツェルの言ってることは実数なのに虚数表示になっちゃうのは仕方ないよねって言う理論なので、代数的に表示出来ない事の意味が全然違う。

志賀浩二著書(方程式が育っていく)の五次方程式の不可解性の証明にも

★既約な五次方程式が代数的に解ける場合は実数解がひとつか5つとも実数解である

の所で、5つとも実数解にも関わらず虚数表示になっています。
これは三次方程式の還元不能の場合と同じく、五次方程式も還元不能な形に解が表示されてしまうのです。
Dummitの論文に確か掲載されている。

体論と群論がガロア理論と言うワードに集約されているのです。

数学科にも角の3等分とかマニアックな事を学んで単位は取れない？ので正確に認知されてないのは当たり前。

ワンツェルの還元不能の証明が載ってる角の3等分(矢野健太郎)です！

体論をかじるには分かりやすい本だと思います。
矢野健太郎と志賀浩二は教師と教え子の関係にあったらしいのは納得ですね。
ガロアの言いたいことの意味を理解するには助走する本としてはうってつけですよ。

と言ってもガロア本は多忙な人には向かない。　
大学の必修科目になっていたりするという事実から帰納的に考えると、平均的な人でも時間を費やすと理解できるはずだが…時間取られるんで。
（ガロア本は良著が少ない。

当時のガロアの考えに基づくガロア群を作ってみる事を避ける本だらけになっていて、
一般の五次方程式は解の公式がないことを示して終わっている。

ガロアの神髄は既約五次方程式でも代数的に表現できる条件を示して、

代数方程式を（ガロア群）でハッキングしたことにある。）

昔の本なのに口語で説明されておられるのはヤバい。分かりやすい。

証明うんぬんよりもまずは意味を分かるようにしないと面白くないです。

シュレディンガー方程式の証明をなんちゃらとかよりもまずは意味が分かる本を手に取ることをおすすめします。

無機質な微分方程式を眺めていたってすぐ飽きてしまいます。