既約五次方程式が可解ならば
ガロア方程式が有理数体で因数分解できて、その次数がガロア群の位数を示している。という理解でいいですか
もうﾁｶﾚﾀ（　＾ω＾…

ここのブログで、120次数のガロア方程式が有理数体上で20次に因数分解する流れを知って安心しました。

ここの管理人さんや、井汲さんあたりがもっと口語的なガロア本とか出版してくれたらなー

井汲ブログのx^3-3x-1　のガロア方程式を　ｖ＝a+2b+3c の置換で構成して地道に
解と係数の関係　a+b+c=0 abc=－ｄ/a 　dは－1なのでabc=1 　を使って計算すると

-a^2c-bc^2-ab^2+ac^2+b^2c+a^2b が出てくるのだがこれは差積（a-b)(b-c)(a-c)
であって
このままだと計算できないので差積の二乗つまり　判別式Ⅾ＝－（４e^3+27f^2)
このeとfはー３とー１　元の3次式の係数
を使って
計算すると
Ⅾ＝81　よって√Ⅾは９　になる

ちなみに、なんで位数3になるかというと、察しのいい読者は気づくのだろう。

角の3等分でも出てくる　x^3-3x-1　は有理数体上既約かつ、すべて実数なのだ。

ゆえに１の3乗根ωを添加するプロセスを経るようなx^3-2の式などと違って、いきなり
実数の３乗根を添加するとすべての解　ほか2根も表せる。なので位数３なわけ。

x^5₊a の形は　20次ガロア方程式を　x^5＝y　とおいてyの4次補助方程式を因数分解して、
差積を入れた二次方程式を解く　差積の添加で群が2で割れて２０→１０　二次方程式を解くことでさらに群が2で割れる10→5
次にその解の５乗根を取ることは５次ガロア方程式を解くことに対応してる?　なので4×５の位数20になっているみたいっすね。

線形置換ax+bがどうたらこうたら言っているのは

既約五次方程式が可解ならば最後の体拡大で5乗根を添加するので、恒等置換εの前の群は位数５の正規部分群になっていなければならない。

5乗根をラストに添加するのは（志賀浩二（方程式が育っていく）の説明を見るか、

単純に既約3次方程式の場合を考えると、（ｘ－a)(x－b)(ｘーc）

のabcが三乗根でないと　aとｂとｃを掛けても有理数にならないでしょっていうイメージでもいい。

繰り返すが、恒等置換εの前の群は位数５の正規部分群になっていなければならない。さらにその前の群も正規部分群になっているはず　もしくはガロア群が位数５

方程式の群を恒等置換から逆流してみると、そういう法則が成り立ってるよねっていうことを言ってるみたい

任意の2根を添加すると可解になるとは、任意の解を添加すると群が縮小して、
さらにもうひとつ添加すると群は恒等置換になることを意味する。

任意の根を一つだけ添加して、それを有理式と考える。体に有理式を添加すると群はその有理式（任意の根のひとつ）を動かさない置き換えしか含まなくなる　←定理より
イメージ的には
屁理屈で考えると、解のひとつを有理式とみなす。　そうすると解のひとつを動かさない置き換えがあるはずであり、まだ恒等置換に縮小していない。

群Gには任意の根を動かさないような置き換えが含まれていなければならない。
よって、任意の根一つを動かさない元が４つある場合、
根は５つあるのでそれぞれの根を動かさない元をすべて含めると　4×５で２０になる。

あれっ任意の根を動かさない置き換えは位数24もあったなそういえば…もっとある…

よく読んでみると、任意の根を動かさない群は最小のものに限定される
よって、abcdeのaを動かさない四つの元しかなく、4×５になる。

ただし体Ｑに任意の解を添加したとき、恒等置換εもその解を動かさない元なので

任意の解一つを添加した群には単位元εも入っていることになる。

体Kにaを添加した体に対応する群はaを固定する４つの元と単位元の５つで成り立つ

体K(a)にbを添加した体はaとbを固定する群に対応しており、aとbを固定するのは単位群のみであり、つまり単位元εのみを含む群に縮小する。
abcdeを12345に替えて、考えてみると
例えば１を固定する群を

12345＝ε
13452
14523
15234

2を固定する群を
ε
21345
23451
24513
25134

よってaとｂ　ここでは文字１と２を固定する群はε　のみ

（´・ω・｀）＝３　　　イメージとしては
人工的に任意の解二つを添加すると、固定する群が単位群のみになる群を作って、
あとはその群Gが可解群であることを言うと、
可解群であるならば線形置換になっているので、二つの任意の根を添加して可解になるならば、線形置換になっていることが言える。

係数体からスタートして、すべての１のP乗根を添加するという行為について

なぜそんなことをするのか?　そんなことをしてもいいのか?という疑問が湧く

例えば2の3乗根　₃√２　を添加した場合、任意性があって₃√２ω、₃√２ω²も2の3乗根のうちに含まれる　

どれを指定して添加しているのかがわからない。なので最初に１の3乗根ωを体Kにいれといてやると
すべて体のKに含まれるから任意性が排除されて、読み手がわかりやすくなる。

ガロアの論文によると　１のｐ乗根はαのP乗根を添加する前の段階で添加してもよい

なぜならば１のP乗根はガウスの証明により、すべて有理数と平方根で表現されている。

ゆえにPよりも次数が低い拡大であって、添加しても方程式の群を縮小することはないから

要約　拡大体と群の対応を示すときにそうすると便利だから。

と思っていた時期が私にもありました。

そして実際それで大丈夫です。

ガロアの論文によるとすべての補助方程式の根を添加すると、正規部分群に分解されるとあるので、１のn乗根は群がn個に分解するときに添加するもの。
あるいはすべての補助方程式の根を添加すると、必然的に１のｎ乗根は体に添加されます。

どういうことかというと、例えば₃√２を添加するときに、共役の₃√２ω　と₃√２ω^2も添加するので　₃√２で₃√２ωを割るとωが出現します。

なので先に基礎体に１のｎ乗根を添加する必要はなく、ガロアの言う通りすべての補助方程式の根を添加すると正規部分群に縮小することを繰り返していけばいいです。

そして恒等置換εまで縮小したとき、ガロア方程式のⅤの値が求まるので、元の方程式の解　がⅤの有理数係数の多項式ですべて求まるのです。

ガロアの視点から１のｎ乗根を添加するタイミングと、志賀本のタイミングとでは

前者は群の縮小を意識しているのに対して、後者は正規拡大を意識している。

時代が前後するガロア本だと、ここら辺がきつい。　2項拡大だとか、クンマー拡大だとか

そもそもクンマーはガロアの時代にいない。

べき根拡大についても無条件でx^n-a　を最小多項式とする拡大を考えているので、面食らってしまうだろう。

ガロアの言ってることがわかるようになる→高校生向けのガロア本の証明がわかる→可解な既約五次方程式の見分け方がわかる。

の流れになっている。　故にガロア理論の証明に固執することは本質ではない。

なぜならガロア理論の証明とは、べき根拡大と正規部分群の縮小が対応していることの証明であって、
べき根拡大で代数的に解ける（代数的に表示できる）ことを前提として議論しているので
べき根拡大で代数的に解けることに対する疑問に答えるものではないです。

ガロアの言っていることがわかれば、そこから演繹的に流れがすべてわかる事になる。
あと、証明を暗記しても忘れる。

ガロアの言っていることがわかるようになるには

口語で書いてある。

当時のガロアの考えに基づいて、ガロア群とは何か説明している。

可解な既約五次方程式とそうでない既約五次方程式の違いについて気づく方向性に向かっている。
そういう本がいいと思います。

x⁵-2　のガロア群は20なので

既約五次方程式の解を五つのアルファベットで表す　a b c d e とすると
dummitの式　θ＝a²be +a²cd +b²ac +b²de +c²ae +c²bd +d²ab +d²ce +e²ad +e²bc

に解を代入して計算すると２₅√２（α+α²₊α³₊α⁴₊１）　＝０
0なので有理数になった。　αは１の５乗根

他のθは　５(₅√２₎⁴、　５(₅√２)⁴α、　５(₅√２)⁴α²　、５(₅√２)α³　、５(₅√２)α⁴

の異なる5つの値が出てくるので、有理数が一つ、そのほかの値は有理数ではない異なる値であることが確認できた。