x⁵-2　のガロア群は20なので

既約五次方程式の解を五つのアルファベットで表す　a b c d e とすると
dummitの式　θ＝a²be +a²cd +b²ac +b²de +c²ae +c²bd +d²ab +d²ce +e²ad +e²bc

に解を代入して計算すると２₅√２（α+α²₊α³₊α⁴₊１）　＝０
0なので有理数になった。　αは１の５乗根

他のθは　５(₅√２₎⁴、　５(₅√２)⁴α、　５(₅√２)⁴α²　、５(₅√２)α³　、５(₅√２)α⁴

の異なる5つの値が出てくるので、有理数が一つ、そのほかの値は有理数ではない異なる値であることが確認できた。