四次方程式　判別式　ガロア群

aｘ⁴＋dx＋e Ⅾ＝256a³e³−27a²d⁴ これを使って差積を計算すると解の中に√Ⅾが見え隠れしてますね。 差積は偶置換なので12通りの置き換えで不変な有理式 よって四次方程式の解を作る拡大体Kに√を添加した数になる。 次に₃√を添加した体Ⅼに対応する（属する）有理式は4通りの置き換えで不... 続きをみる

わかりやすいガロア理論

ざっくりな考え いろいろ本やサイトやdummitの論文などをみて、考えた結果 スタート地点はやはり係数体つまり有理数体 最初に必要な１のｎ乗根を入れておくだとか本によっては記述しているが、dummitの論文の拡大体には最後のほうに１のｎ乗根を添加してる。 これはガロア方程式の因数分解だけ考えてた場... 続きをみる

三次方程式　単拡大定理　Ⅴで根を表す

3次方程式x^3-3x-1　の解は３つとも実数根であり、 一つの根をaと置くと、ほかの根は a^2-a-2 、-a^2+2と書けるらしい (そういう関係が根にある） んでもって、こやつを根の有理式Ⅴで表したい。 まず、一つの根をaと置くと、ほかの根は a^2-a-2 、-a^2+2と書けるから Ⅴ... 続きをみる

可移部分群って何?

例えば　文字　abcde の五つがあって、aをすべての文字に移す置き換えの元を含むものを可移な群という。 つまり　a→a 　a→b　a→c　a→d　a→e の置き換える元　なんでもいいのでその条件を満たす元を含むものを可移な群という。 これを考えるのはざっくりいうと Ｓ5の対称群は、Ｓ3やＳ4と同... 続きをみる

ガロアの論文を読んでみたを読んでみた

既約五次方程式が可解ならば ガロア方程式が有理数体で因数分解できて、その次数がガロア群の位数を示している。という理解でいいですか もうﾁｶﾚﾀ（　＾ω＾… ここのブログで、120次数のガロア方程式が有理数体上で20次に因数分解する流れを知って安心しました。 ここの管理人さんや、井汲さんあたりがもっ... 続きをみる

１の原始根を添加する理由

係数体からスタートして、すべての１のP乗根を添加するという行為について なぜそんなことをするのか?　そんなことをしてもいいのか?という疑問が湧く 例えば2の3乗根　₃√２　を添加した場合、任意性があって₃√２ω、₃√２ω²も2の3乗根のうちに含まれる　 どれを指定して添加しているのかがわからない。... 続きをみる

x⁵-2　フロベニウス群の置換

x⁵-2　のガロア群は20なので 既約五次方程式の解を五つのアルファベットで表す　a b c d e とすると dummitの式　θ＝a²be +a²cd +b²ac +b²de +c²ae +c²bd +d²ab +d²ce +e²ad +e²bc に解を代入して計算すると２₅√２（α+α²₊α... 続きをみる