すべての五次方程式は最終的に
x⁵+x＝aの形まで変形できる

上の式を変形するとx/a＝1/1+x⁴ である

等比数列の無限級数の和の公式で1₊ｒ₊ｒ²₊ｒ³₊.......=1/1－r

であった事を思い出すと、ｒに−ｘ⁴を代入して
1/1+x⁴＝１-ｘ⁴₊ｘ⁸₋ｘ¹²…

よってｘ＝a(1-x⁴₊ｘ⁸-x¹²…（１）の関係がわかる

次にa⁴＝（ｘ⁵₊ｘ）⁴はa⁴＝ｘ⁴₊４ｘ⁸₊６ｘ¹²₊４ｘ¹⁶₊ｘ²⁰
なので

ｘ⁴＝a⁴-４ｘ⁸-６ｘ¹²-４ｘ¹⁶-ｘ²⁰これを（１）の右辺の式のｘ⁴の部分に代入してやると
　ｘ＝a(1-a⁴₊５ｘ⁸+５x¹²…　となって

だんだんxがaの級数に置き換えることができるのがわかる。

wikiのブリング根　ＢＲ（a)は　a-a⁵₊５a⁹…とあるのと一致する。

五次方程式が超冪根で解ける事は等比数列の級数和と二項定理だけを知っていれば誰でも簡単にわかる。　ただし等比数列の級数和が収束しないといけないので
ｒ＝ｘ⁴＝１より小さい数の時だけ適用できる。もちろんa＜｜１｜　である。　aが1以上だと発散してしまうので無限になってしまう。

超冪根で解けるのはこの条件を満たす五次方程式だけであるのは注意

計算ミスがすっごいので詳細はsimple deliveration of bring radical で検索してください。なんで逆関数を使う方法がwikiにあるのかは次の記事で言います。

エルランド サミュエル ブリングさん

Ultraradical(超冪根による解法を考案した人

五次方程式を畳んで、等比級数の和で収束する(1より小さい)解を使って元の方程式の解を表現しようっていう考え。