既約な五次方程式が代数的に解ける（表現できる）条件を考えると

解が簡単な形の場合は解けるはず

しかしながら　実数解は無限小数のようにひたすら続く複雑な形をしています。

なので解の形そのものが簡単な場合を考えるのではなく、他の実数解

あるいは虚数解の値が似ている場合を考えます。

この方程式の実数解と虚数解は

こんな形になっています。

よく見ると　似ている値の虚数解が2ペア存在することがわかります。

ポーカーのように　2ペアが存在する＝解の形が簡単＝代数的に解ける

ざっくり説明すると、こういう解の間にある関係性がパターンとしてあると、うれしいわけです。

aｘ⁴＋dx＋e

Ⅾ＝256a³e³−27a²d⁴

これを使って差積を計算すると解の中に√Ⅾが見え隠れしてますね。

差積は偶置換なので12通りの置き換えで不変な有理式

よって四次方程式の解を作る拡大体Kに√を添加した数になる。

次に₃√を添加した体Ⅼに対応する（属する）有理式は4通りの置き換えで不変なはず。

よって

（ｘ₁₊ｘ₂）ー（ｘ₃₊ｘ₄）　の式が体に属すると思ったら、これは属さない。

なぜなら　4通りの置き換えの内訳は

１２３４
２１４３
３４１２
４３２１
なので　上記の式は変化してしまう。

４通りの置き換えで不変というのは、その４つの置き換えで不変でなくてはならないのである。

次に　(（ｘ₁₊ｘ₂）ー（ｘ₃₊ｘ₄）)^2を2乗した式は8通りの置き換えで不変　かつ　内訳の元で不変なので
体K2に属する数である。

8通りの置き換えで不変なので、１２通りの置き換え（偶置換）では変化する。

例えば4通りの置き換えで不変な有理式が二つあっても、置き換えの元が異なる場合、この二つの有理式は同じ体Kに必ずしも属するとは限らない。

ざっくりな考え

いろいろ本やサイトやdummitの論文などをみて、考えた結果

スタート地点はやはり係数体つまり有理数体

最初に必要な１のｎ乗根を入れておくだとか本によっては記述しているが、dummitの論文の拡大体には最後のほうに１のｎ乗根を添加してる。

これはガロア方程式の因数分解だけ考えてた場合すっきりするのだが、
拡大体と正規部分群の関係を図示したい場合前者のような形（最初に１の原始根をすべて入れておく）にしないときれいにならない。
dummitの最後に１の原始根を入れる行為は　つまり、ガロアの論文で言う　すべての補助方程式の根を添加する→１の原始根もそれに含まれるをやっている。

体と群の対応を見やすくするために、最初に必要な原始根を添加しましょうね、っていう約束事が定式化されたんだと思います。

クンマー理論が1840年

ガロアの論文がリューヴィユに解読されたのが1864年

おそらく、体論にガロアの考えが取り込まれる形で体系化されていった。

Qに（ω）を添加して、拡大してしまう場合は方程式の群が縮小してしまうので、拡大次数が２だとか考える必要がある。
Qに（ω）を添加しても拡大しない場合は方程式の群が縮小しないので、気にしなくてよい。

１のn乗根はマンションを建てるための鉄骨であって、
マンションを建てる材料である。
ガロア理論の目的は　拡大体のマンションを建てることができるか（可解か否か）

マンションを建てたときに、根の有利式がどの階に住んでいるか調べる事。

なので、本やサイトによっては鉄骨を有理数と見做す。あるいは無視してよいとか表現しているけど。

マンションの住人が何階に住んでいるか調べるときに、鉄骨の存在など関係ないというイメージでもいいのでは?　と思いました。

そんでもって、既約3次方程式の差積は基本的に平方根になるのです。

ところが、x^3-3x-1　のような方程式の差積は有理数になる。　これは有理数に平方根を添加せずにいきなり3乗根を添加すれば方程式の解があらわせることを意味している。

つまり、根の有理式（ここでは差積）を調べれば解の形がわかるのです。

このように、ガロア理論は理論(ガロア対応表）としてはガバなのですがツールとしては非常に強力なのです。
ガロア群で不変な根の有理式は有理数になるということを明言して、さっさと五次方程式の可解性に踏み込む本が増えてほしい限りです。

ガロアのｖ＝α₊2β₊３γ₊4δ₊5ε　とおいて、フロベニウス群で不変な根の有理式Ａを考える。

根はｖの有理数係数の多項式で表現されるので、Ａはｖの有理係数多項式

Ａは20通りの置換　Ⅴ₁からⅤ₂₀まで不変　よって

Ａ＝ｆ(Ⅴ）＝20分の1×ｆ（Ⅴ₁）₊ｆ(Ⅴ₂）₊ｆ(Ⅴ₃）₊～ｆ(Ⅴ₂₀）

よってⅤ₁～Ⅴ₂₀の対称式になる　ガロア方程式は20次であり、Ⅴ₁～Ⅴ₂₀の対称式は有利係数
なのでＡは有理数