3次方程式x^3-3x-1　の解は３つとも実数根であり、

一つの根をaと置くと、ほかの根は a^2-a-2 、-a^2+2と書けるらしい
(そういう関係が根にある）

んでもって、こやつを根の有理式Ⅴで表したい。

まず、一つの根をaと置くと、ほかの根は a^2-a-2 、-a^2+2と書けるから

Ⅴ＝a₊2b₊3c　　bに a^2-a-2  ｃに-a^2+2と置くと

Ⅴ＝a₊２(a^2-a-）₊３(-a^2₊2）

計算してⅤ＝-a^2-a₊２

次に

根がⅤの有理式で表せるならば　ｆⅤ^2₊gⅤ₊ｈ　と仮定してよい　ｆｇｈは有理数

なぜならばガロア分解式　Ⅴ^3-9Ⅴ-９が成り立っており、（井汲ブログ参照）

Ⅴ^3＝9Ⅴ₊９に変換できるので、Ⅴ^3以上の項は常に低い次数に置き換えられるから

さっそく

a=ｆⅤ^2₊ｇⅤ₊ｈを計算すると

Ⅴ^2＝3a₊6になっており、いきなりきれいな形で出てきたので

ｆに1/3を代入して　ｆⅤ^2＝a₊2　よって　

aが1/3Ⅴ^2ー２　であることがわかる　Ⅴの有理式で表現できる

ここからaが求まったので、a^2-a-2 と-a^2₊2のⅤの式が求まる

-a^2₊2＝1/3Ⅴ^2-Ⅴ-２　　さらにa^2-a-2=-1/3Ⅴ^2₊Ⅴ₊４

ちなみに　

Ｖの根を置き換えて

Ⅴ＝b₊2a₊3c　と置くと

Ⅴ＝-2a^2₊a₊４　よって

またⅤ＝ｆⅤ^２₊ｇⅤ₊h　ｆｇｈ　は有理数のどれか

Ⅴ^２＝-３a^２₊１２　　なのでとりあえず⁻1/3＝ｆに代入して

-３a^2をa^2にする

－1/3×Ⅴ^２＝　a^2-４となる

Ⅴの式にあるー２a＾２と打ち消したいので

－２/3Ⅴ^２＝２a^2-８    これを　Ⅴと合わせて

－２/3Ⅴ^２₊Ⅴ＝a-４   よって　移項すると　⁻２/3Ⅴ^2₊Ⅴ₊４＝a

ここではⅤのうちどれを指定しているのか決めていないので、コロコロ値が変わっているはず。　とりあえず計算のアプローチだけ

5次方程式の場合も簡単に求まる方法があればいいのだが、
一応　ここのサイトを見ると、解をⅤの多項式で表す方法のまとめがある。

下のブログの方は出版とかなさらないのですか　井汲氏もそうですが…

例えば　文字　abcde の五つがあって、aをすべての文字に移す置き換えの元を含むものを可移な群という。

つまり　a→a 　a→b　a→c　a→d　a→e の置き換える元　なんでもいいのでその条件を満たす元を含むものを可移な群という。

これを考えるのはざっくりいうと
Ｓ5の対称群は、Ｓ3やＳ4と同じ形の部分群を含んでいるのだが、これらは可移な部分群ではない。

例えばS3はabcの置き換えのみで構成されており(置き換えはもちろん6通り）

a→aとa→b　a→c　の置き換えをする元を含むが

a→e の置き換えをする元を含んでいない。　もしガロア群がＳ3やＳ4と同じ形をしているなら、そのガロア群に対応する方程式は既約な3次方程式や既約な4次方程式になる。

既約な五次方程式のガロア群はs5の部分群のどれかに

対応しているのだが、部分群にはs3やs4のようなものも含まれている。

ゆえに可移な部分群でないものを既約五次方程式のガロア群を探す際に、考慮しても意味がないので、
サイトによっては、いちいち可解な既約五次方程式に対応するガロア群を探す際は可移部分群を探すと宣言している。

既約五次方程式が可解ならば
ガロア方程式が有理数体で因数分解できて、その次数がガロア群の位数を示している。という理解でいいですか
もうﾁｶﾚﾀ（　＾ω＾…

ここのブログで、120次数のガロア方程式が有理数体上で20次に因数分解する流れを知って安心しました。

ここの管理人さんや、井汲さんあたりがもっと口語的なガロア本とか出版してくれたらなー

井汲ブログのx^3-3x-1　のガロア方程式を　ｖ＝a+2b+3c の置換で構成して地道に
解と係数の関係　a+b+c=0 abc=－ｄ/a 　dは－1なのでabc=1 　を使って計算すると

-a^2c-bc^2-ab^2+ac^2+b^2c+a^2b が出てくるのだがこれは差積（a-b)(b-c)(a-c)
であって
このままだと計算できないので差積の二乗つまり　判別式Ⅾ＝－（４e^3+27f^2)
このeとfはー３とー１　元の3次式の係数
を使って
計算すると
Ⅾ＝81　よって√Ⅾは９　になる

ちなみに、なんで位数3になるかというと、察しのいい読者は気づくのだろう。

角の3等分でも出てくる　x^3-3x-1　は有理数体上既約かつ、すべて実数なのだ。

ゆえに１の3乗根ωを添加するプロセスを経るようなx^3-2の式などと違って、いきなり
実数の３乗根を添加するとすべての解　ほか2根も表せる。なので位数３なわけ。

x^5₊a の形は　20次ガロア方程式を　x^5＝y　とおいてyの4次補助方程式を因数分解して、
差積を入れた二次方程式を解く　差積の添加で群が2で割れて２０→１０　二次方程式を解くことでさらに群が2で割れる10→5
次にその解の５乗根を取ることは５次ガロア方程式を解くことに対応してる?　なので4×５の位数20になっているみたいっすね。

線形置換ax+bがどうたらこうたら言っているのは

既約五次方程式が可解ならば最後の体拡大で5乗根を添加するので、恒等置換εの前の群は位数５の正規部分群になっていなければならない。

5乗根をラストに添加するのは（志賀浩二（方程式が育っていく）の説明を見るか、

単純に既約3次方程式の場合を考えると、（ｘ－a)(x－b)(ｘーc）

のabcが三乗根でないと　aとｂとｃを掛けても有理数にならないでしょっていうイメージでもいい。

繰り返すが、恒等置換εの前の群は位数５の正規部分群になっていなければならない。さらにその前の群も正規部分群になっているはず　もしくはガロア群が位数５

方程式の群を恒等置換から逆流してみると、そういう法則が成り立ってるよねっていうことを言ってるみたい

任意の2根を添加すると可解になるとは、任意の解を添加すると群が縮小して、
さらにもうひとつ添加すると群は恒等置換になることを意味する。

任意の根を一つだけ添加して、それを有理式と考える。体に有理式を添加すると群はその有理式（任意の根のひとつ）を動かさない置き換えしか含まなくなる　←定理より
イメージ的には
屁理屈で考えると、解のひとつを有理式とみなす。　そうすると解のひとつを動かさない置き換えがあるはずであり、まだ恒等置換に縮小していない。

群Gには任意の根を動かさないような置き換えが含まれていなければならない。
よって、任意の根一つを動かさない元が４つある場合、
根は５つあるのでそれぞれの根を動かさない元をすべて含めると　4×５で２０になる。

あれっ任意の根を動かさない置き換えは位数24もあったなそういえば…もっとある…

よく読んでみると、任意の根を動かさない群は最小のものに限定される
よって、abcdeのaを動かさない四つの元しかなく、4×５になる。

ただし体Ｑに任意の解を添加したとき、恒等置換εもその解を動かさない元なので

任意の解一つを添加した群には単位元εも入っていることになる。

体Kにaを添加した体に対応する群はaを固定する４つの元と単位元の５つで成り立つ

体K(a)にbを添加した体はaとbを固定する群に対応しており、aとbを固定するのは単位群のみであり、つまり単位元εのみを含む群に縮小する。
abcdeを12345に替えて、考えてみると
例えば１を固定する群を

12345＝ε
13452
14523
15234

2を固定する群を
ε
21345
23451
24513
25134

よってaとｂ　ここでは文字１と２を固定する群はε　のみ

（´・ω・｀）＝３　　　イメージとしては
人工的に任意の解二つを添加すると、固定する群が単位群のみになる群を作って、
あとはその群Gが可解群であることを言うと、
可解群であるならば線形置換になっているので、二つの任意の根を添加して可解になるならば、線形置換になっていることが言える。