Kronecker's Polynomial Theorem
An algebraically soluble equation of odd prime degree which is irreducible in the natural field possesses either

1. Only a single real root, or

2. All real roots.

Mathworldと言うサイトに載ってます

奇素数次の既約方程式が
代数的に解けるならば
実数解がひとつかすべて実数解である

志賀浩二先生の本　方程式が育っていく　の中にある証明

よく見ると奇素数の次数方程式がなんちゃらと書いてあってからの五次方程式に適用されている流れになってますね

還元不能な三次方程式は、必ず複素数を経由

しなければならない証明はガロア理論を理解すれば分かるなどと書いてあるのをネットで見ていて、間違ってはいないと思いました。

何故ならワンツェルの証明(還元不能になる)も体論をかじらないと分からないものであるからです。

但し、ガロア理論は代数的に表示出来るかどうかを問う理論に対して、

ワンツェルの言ってることは実数なのに虚数表示になっちゃうのは仕方ないよねって言う理論なので、代数的に表示出来ない事の意味が全然違う。

志賀浩二著書(方程式が育っていく)の五次方程式の不可解性の証明にも

★既約な五次方程式が代数的に解ける場合は実数解がひとつか5つとも実数解である

の所で、5つとも実数解にも関わらず虚数表示になっています。
これは三次方程式の還元不能の場合と同じく、五次方程式も還元不能な形に解が表示されてしまうのです。
Dummitの論文に確か掲載されている。

体論と群論がガロア理論と言うワードに集約されているのです。

数学科にも角の3等分とかマニアックな事を学んで単位は取れない？ので正確に認知されてないのは当たり前。

ワンツェルの還元不能の証明が載ってる角の3等分(矢野健太郎)です！

体論をかじるには分かりやすい本だと思います。
矢野健太郎と志賀浩二は教師と教え子の関係にあったらしいのは納得ですね。
ガロアの言いたいことの意味を理解するには助走する本としてはうってつけですよ。

と言ってもガロア本は多忙な人には向かない。　
大学の必修科目になっていたりするという事実から帰納的に考えると、平均的な人でも時間を費やすと理解できるはずだが…時間取られるんで。
（ガロア本は良著が少ない。

当時のガロアの考えに基づくガロア群を作ってみる事を避ける本だらけになっていて、
一般の五次方程式は解の公式がないことを示して終わっている。

ガロアの神髄は既約五次方程式でも代数的に表現できる条件を示して、

代数方程式を（ガロア群）でハッキングしたことにある。）

昔の本なのに口語で説明されておられるのはヤバい。分かりやすい。

証明うんぬんよりもまずは意味を分かるようにしないと面白くないです。

シュレディンガー方程式の証明をなんちゃらとかよりもまずは意味が分かる本を手に取ることをおすすめします。

無機質な微分方程式を眺めていたってすぐ飽きてしまいます。

まず、ガロアの考えで、

位数120のガロア群、位数60のガロア群、位数20のガロア群に対応する既約五次方程式が存在していると仮定しよう

ガロアの言う可解である条件　

★その１　その方程式に対応するガロア群が素数個ずつ部分群に分裂していくのを繰りかえして、最終的に恒等置換になること

★その２　分裂していく部分群が正規部分群であること

まず位数120のガロア群に対応する既約五次方程式を考えると、

位数120のガロア群は5次の対称群であって、これを分裂して小さくしていく場合、
120＝２×２×２×3×５　なので　２　と　３　と　５　で割れることができる

120を２で割ると位数６０の交代群になるが、交代群は単純群なので部分群をもたないため分裂ができない

次に３で割ることを考えると、位数４０の部分群が存在しないので分裂できない

次に５で割ると位数２４の部分群に分裂できる
ここで★条件１をみたしているが、位数２４の部分群は正規部分群ではないので★条件２を満たしていないのでダメ

ゆえに位数１２０のガロア群と対応する五次方程式は可解ではない

位数６０のガロア群に対応する既約五次方程式を考えると、
位数６０のガロア群は交代群なので部分群に分裂できない　分裂できるとしたら恒等置換になるだけ（６０で割れるが素数ではない）
ので★条件１を満たしておらず可解ではない

位数２０のガロア群に対応する既約五次方程式を考える
位数２０のガロア群はフロベニウス群である。

位数２０から位数１０の部分群に分裂できる、さらに位数１０の部分群から位数５の部分群に分裂できて、最終的に５で割って恒等置換（単位群）になる
２０を2で割って、１０を2で割って、５を5で割ると１（恒等置換）になる　

２、２，５の素数個ずつに分裂している

なので★条件１を満たす

位数１０の群　位数５の群　恒等置換（単位群）はすべて正規部分群であるので★条件２を満たす

よって★条件１と★条件２の両方を満たす位数２０のガロア群に対応する既約五次方程式は可解である